Toccata

Keywords: Round-off error ; Floating-Point ; Numerical Scheme ; Advection ; Hydrodynamics

Keywords: Lebesgue integration ; Measure theory ; Coq ; Formal proof ; Coq ; Preuve formelle ; Théorie de la mesure ; Intégrale de Lebesgue

Keywords: Numerical reproducibility ; Floating-point arithmetic ; Numerical repro- ducibility ; Formal proof ; Rounding mode ; Error-free transforms ; Rounding error analysis

Keywords: Dot Product ; Sum-of-Products ; Correct Round- ing ; Odd Rounding ; Fixed-Point Arithmetic

Dans ce monde devenu numérique nous savons que c'est une de nos missions d'acteur de la recherche publique, que de rendre accessibles les sciences du numérique au plus grand nombre. Ceci afin que chaque citoyenne et citoyen maîtrise, au delà des usages, les principaux fondements de cette mutation numérique. Et nous croyons que c'est l'acquisition d'une culture scientifique sur ces sujets qui est le levier de cette appropriation. C'est notre mission et notre plaisir d'y contribuer. Ce document a pour but d'aider chaque collègue Inria intéressé à participer à ce volet de nos missions. Devenue une facette de notre métier, comme le rappelle le Plan Stratégique Inria [1], ce que nous appelons médiation scientifique en sciences du numérique (alias, " mecsci ") se professionnalise et change d'échelle. Et c'est environ 1 % de nos ressources qui a vocation à y être consacré. Pour tout l'institut on parle donc de près de 40 équivalents temps-plein distribués à travers le travail quotidien ou ponctuel de plusieurs centaines de collègues chercheurs, ingénieurs, communicants, etc.. Une telle énergie mérite d'être bien employée : au service des meilleurs objectifs ; vers des cibles bien définies qui ont de vrais besoins sur ces sujets ; dans le cadre d'actions leviers qui aident à faire bouger les choses ; et avec une méthodologie efficace qui optimise ce que nous investissons dans de telles activités ; tout en respectant et en encourageant les dynamiques locales et individuelles indépendantes qui restent les sources vives de la médiation scientifique. Voilà pourquoi il y a juste besoin d'offrir en partage à chacune et chacun les éléments fondateurs et méthodologiques de cette médiation scientifique. Offrir aussi quelques bonnes pratiques très concrètes. On parle donc ici d'une organisation distribuée d'actions collaboratives d'où émerge le service public de popularisation scientifique visé. C'est ce que ce document se propose de décrire ici.

Keywords: médiation scientifique ; culture scientifique ; recherche ; popularisation des sciences ; service public.

We formally prove the C program that implements a simple numerical scheme for the resolution of the one-dimensional acoustic wave equation. Such an implementation introduces errors at several levels: the numerical scheme introduces method errors, and the floating-point computation leads to round-off errors. We formally specify in Coq the numerical scheme, prove both the method error and the round-off error of the program, and derive an upper bound for the total error. This proves the adequacy of the C program to the numerical scheme and the convergence of the effective computation. To our knowledge, this is the first time a numerical analysis program is fully machine-checked.

Keywords: Formal proof of numerical program; Convergence of numerical scheme; Proof of C program; Coq formal proof; Acoustic wave equation; Partial differential equation; Rounding error analysis

The fused multiply accumulate-add (FMA) instruction, specified by the IEEE 754-2008 Standard for Floating-Point Arithmetic, eases some calculations, and is already available on some current processors such as the Power PC or the Itanium. We first extend an earlier work on the computation of the exact error of an FMA (by giving more general conditions and providing a formal proof). Then, we present a new algorithm that computes an approximation to the error of an FMA, and provide error bounds and a formal proof for that algorithm.

This paper introduces a methodology to perform formal verification of floating-point C programs. It extends an existing tool for the verification of C programs, Caduceus, with new annotations specific to floating-point arithmetic. The Caduceus first-order logic model for C programs is extended accordingly. Then verification conditions expressing the correctness of the programs are obtained in the usual way and can be discharged interactively with the Coq proof assistant, using an existing Coq formalization of floating-point arithmetic. This methodology is already implemented and has been successfully applied to several short floating-point programs, which are presented in this paper.